gmailのアカウントをバックアップして消す方法は

海外の会社とやりとりをしていたからか、中国から不正アクセスがありました。 このようなことは、本当に苦手でよくわからないのですが、自分では、 gmailのアカウントは二つあるのですが、両方とも、必要なメールだけバックアップをとっておいて 抹消するのがいいのかと思っています。 この場合の具体的なやり方を知りたいです。 もっといい方法があれば、それを教えて下さい。 よろしくお願いします。